题目

已知a>0,b>0,且a+b=2,求a分之一加b分之四的最小值

提问时间：2020-12-11

答案

方法一(基本不等式）
1/a+4/b
＝(1/2)·2·(1/a+4/b)
＝(1/2)·(a+b)(1/a+4/b)
＝(1/2)·[5+(4a/b)+(b/a)]
≥5/2+(1/2)·2√(4a/b·b/a)
＝9/2.
故所求最小值为:
(1/a+4/b)|min＝9/2.
此时,a+b＝2且4a/b＝b/a,
即a＝2/3,b＝4/3.
方法二(Cauchy不等式)
a>0、b>0,a+b＝2,
∴(a+b)(1/a+4/b)≥(1+2)²
→1/a+4/b≥9/2.
故所求最小值为：y|min＝9/2.
此时,同样易得a＝2/3,b＝4/3.