题目

在圆内画一条线段,将圆分成两部分,画两条分成四部分,画三条分成七部分,画四条分成11部分,
画五条分成16部分.
当在圆内画条线段,两两相交,将圆分成多少部分?用数学归纳法证明.

提问时间：2020-12-11

答案

证明：设圆被分成s份.
当n=1时,s=2
当n=2时,s=4
当n=3时,s=7
当n=4时,s=11
当n=5时,s=16
因此,可以求出f (n)=（n+2）（n-1）/2+2
当n=1时,f（1)=2成立
假设当n=k时,f (k)=（k+2）（k-1）/2+2成立
当n=k+1时,f（n）=（k+2）（k-1）/2+2+k+1=k*(k+3)/2+2=(k+1+2)(k+1-1)/2+2=f(k+1)
因此,f(n)=(n+2)(n-1)/2+2成立,因此,原命题得证