题目

为什么一个特征值不能对应两个线性无关的特征向量?
而且为什么如果对称阵有r重根，则对应的特征值就会有r个线性无关的特征向量，也就是说不是重根的特征值一定对应的是一个特征向量？

提问时间：2020-12-10

答案

请你找一本线性代数课本（数学专业用）,其中有一个
定理：对于矩阵A的特征值λ.代数重数≥几何重数.
（代数重数是特征值λ作为特征方程的根的重数.
几何重数是特征值λ所对应的特征子空间的维数.即
λ对应的线性无关的特征向量的个数.）
这个定理的证明不太麻烦.但是这里还是写不出.
顺便说一句,A相似于对角阵的充要条件正是：
对于A的每个特征值,总有：代数重数＝几何重数.
对称矩阵必相似于对角阵,总有：代数重数＝几何重数