题目

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-12-10

答案

解法一：
令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1-a
令g′（x）=0，解得x=e^a-1-1，
（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e^a-1-1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e^a-1-1）是减函数，
又g（0）=0，所以对0＜x＜e^a-1-1，都有g（x）＜g（0），
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．
综上，a的取值范围是（-∞，1]．
解法二：
令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．
对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1-a
令g′（x）=0，解得x=e^a-1-1，
当x＞e^a-1-1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
当-1＜x＜e^a-1-1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为e^a-1-1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（-∞，1]．