题目

Sn是数列{an}的前n项和,an=(2n-1)i^n,求数列{an}的前2012项和S2012

提问时间：2020-12-10

答案

Sn=1+3i+5i^2+…+(2n-3)*i^(n-2)+(2n-1)*i^(n-1)………………（1）
那么两边同乘以i得到：
iSn=i+3i^2+5i^3+……+(2n-3)*i^(n-1)+(2n-1)*i^n………………（2）
(1)-(2)得到：
(1-i)Sn=1+2i+2i^2+…2i^(n-1)-(2n-1)*i^n
=1+2*[i+i^2+……+i^(n-1)]-(2n-1)*i^n
=1+2*{i*[1-i^(n-1)]/(1-i)}-(2n-1)*i^n
=1+2[(i-i^n)/(1-i)]+(2n-1)*i^n
所以,Sn={1+2[(i-i^n)/(1-i)]+(2n-1)*i^n}/(1-i).
S2012={1+2[(i-i^2012)/(1-i)]+(2*2012-1)*i^2012}/(1-i).
= {1+2[(i-1)/(1-i)]+(4023)}/(1-i).
=[1-2+ 4023]/(1-i)
=4022(1+i)/2
=2011(1+i)
(i^2012=i^(503x4)=1