题目

一道函数题,只限今天回答,悬赏一百
定义域为R的函数f（x）=f（x-2k） （k∈Z）及f（-x）=-f（x）.且当x∈（0,1）时,f（x）=(2^x)/(4^x+1)
问：求f（x）在【2k-1,2k+1】（k∈Z）上的解析式

提问时间：2020-12-10

答案

由f（-x）=-f（x）知其为奇函数
且x∈（0,1）时,f（x）=(2^x)/(4^x+1)
所以x∈（-1,0）时,f（x）=-f(-x)=-(2^(-x))/(4^(-x)+1) =-(2^x)/(4^x+1)
由f（x）=f（x-2k） （k∈Z）可知f(x)是以2为最小正周期的周期函数
当x∈（2k-1,2k+1）时,x-2k∈(-1,1)
所以在(2k-1,2k+1),f(x)=
(2^(x-2k))/(4^(x-2k)+1) x∈(2k-1,2k)
-(2^(x-2k))/(4^(x-2k)+1) x∈[2k,2k+1)