题目

1：求证：不论k为任何实数,方程2/1X²+（2k-1）x+3k²+2=0没有实数根.
2：已知,关于x的方程mx²-2（m+2）x+m+5=0没有实数根,试判别方程(m-5)x²-2（m+2）x+m=0的根的情况.

提问时间：2020-12-10

答案

二分之一应该表示成1/2,不是2/1
1、证明：
此方程式一元二次方程,两边同时乘2,得
x²+2(2k-1)x+(2k-1)²-(2k-1)²+2(3k²+2)=0
[x+(2k-1)]²+4k+2k²+3=0
[x+(2k-1)]²+2(k+1)²+1=0
∵[x+(2k-1)]²≥0,2(k+1)²≥0,
∴[x+(2k-1)]²+2(k+1)²+1=0无解
即原方程没有实数根,
得证
2、mx²-2（m+2）x+m+5=0
若m=0,则有实数根,所以m≠0,
此一元二次方程的判别式△=4(m+2)²-4m(m+5)=-4m+16＜0
即m＞4
对方程(m-5)x²-2（m+2）x+m=0
若m=5,则方程为-14x+5=0,有一个根,是x=5/14
若m≠5,则方程的判别式为
△=4(m+2)²-4m(m-5)
=4m²+16m+16-4m²+20m
=36m+16
∵m＞4
∴△＞0
∴方程有两个不相等的实根,