题目

高数同济6版怎么理解69页介绍的幂指函数求极限公式?
高数同济6版怎么理解69页下半部分介绍了幂指函数求极限的公式：
一般的,对于形如u(x)^v(x),(u(x)>0,u(x)不恒等于1)的函数,
如果limu(x)=a>0,limv(x)=b,那么limu(x)^v(x)=a^b.
这个怎么理解?
是说如果求幂指函数的极限,只要分别求出底数和指数的极限a,b,然后计算a^b,就可以了吗?

提问时间：2020-12-10

答案

你的理解是正确的,但是要特别注意条件：a是正实数,b是实数(b≠∞).
一般地,对于形如u(x)^v(x),(u(x)>0,u(x)不恒等于1)的函数,
若limu(x)=a>0,limv(x)=b,则limu(x)^v(x)=a^b.
这里应注意b是实数（有限数）,事实上：
limu(x)^v(x)=lime^[ln(u(x)^v(x))]=lime^(v(x)lnu(x))=e^[limv(x)·ln(limu(x)]=e^[b·lna]=a^b
如果b=∞,则应理解为limv(x)不存在,这时不能使用该结论,不过往往可以利用第二重要极限求出结果.