题目

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．
（1）△BDF是什么三角形？请说明理由；
（2）设AD=x，CF=y，试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）
（3）当移动点D使EF∥AB时，求AD的长．

提问时间：2020-12-10

答案

（1）△BDF是等边三角形，证明如下：
∵ED⊥AB，∠EDF=30°，∴∠FDB=60°，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°，
∴∠DFB=60°，∴△BDF是等边三角形．
（2）∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=2，
∵CF=y，∴BF=1-y，又△BDF是等边三角形，∴BD=BF=1-y，
∴x=2-（1-y）=1+y，∴y=x-1，
（3）当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，
∴CF=

1

2

EF，EF=

1

2

DF，
∵DF=BF=1-y，∴y=

1

4

（1-y），∴y=

1

5

，
∴x=y+1=

6

5

，即AD=

6

5

．