题目

已知抛物线y²=4x及点P（2，2），直线l的斜率为1且不过点P，与抛物线交于点A，B，
（1）求直线l在y轴上截距的取值范围；
（2）若AP，BP分别与抛物线交于另一点C、D，证明：AD，BC交于定点．

提问时间：2020-12-09

答案

（1）设直线l的方程为y=x+b（b≠0），由于直线不过点P，因此b≠0
由

y＝x+b y2＝4x

得x²+（2b-4）x+b²=0，由△＞0，解得b＜1
所以，直线l在y轴上截距的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）
（2）设A，B坐标分别为(

m2

4

，m)，(

n2

4

，n)，因为AB斜率为1，所以m+n=4，
设D点坐标为(

yD2

4

，yD)，因为B、P、D共线，所以k_PB=k_DP，得yD＝

8−2n

2−n

＝

2m

m−2

直线AD的方程为y−m＝

yD−m

yD2 4 − m2 4

(x−

m2

4

)
当x=0时，y＝

my D

yD+m

＝

2m2

2m+m2−2m

＝2
即直线AD与y轴的交点为（0，2），同理可得BC与y轴的交点也为（0，2），
所以AD，BC交于定点（0，2）．

（1）设直线l的方程为y=x+b（b≠0），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合方程有两个实根的条件：△＞0，解决问题．
（2）设A，B坐标分别为(

m2

4

，m)，(

n2

4

，n)，因为AB斜率为1，得出m，n的关系式，再结合B、P、D共线，利用直线斜纺的关系得直线AD的方程，最后令x=0时，即直线AD与y轴的交点为（0，2），同理可得BC与y轴的交点也为（0，2），从而解决问题．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本小题主要考查抛物线的标准方程、直线的方程、线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．