题目

有理分式函数证明
证明：（1）有理分式函数R(z)=P(z)/Q(z),可以化为X+iY的形式,X,Y为具有实系数的x与y的有理分式函数
（2）如果R(z)为（1）中的有理分式函数,但具有实系数,那么R（z~）=X-iY
为z的共轭复数.

提问时间：2020-12-09

答案

(修改后)
设z=a+bi
R(z)
=P(z)/Q(z)
=P(a+bi)/Q(a+bi)
=[P1(a,b)+P2(a,b)i]/[Q1(a,b)+Q2(a,b)i]
对於P(z)和Q(z),应该不难知两者都可视为整式
（若否,则可以通过分式间乘除化为两个整式相除）
我想我应该是第一次回答时没考虑好以致表达有误
重点应该是以下这个变换的成立
P(a+bi)=P1(a,b)+P2(a,b)i
即P一定可以表示成固定的P1,P2实部和虚部的形式
Q也一样,然后才是进行分母的有理化以及化简
对於（2）,把上式的有理化过程写出来如下：
原式=[P1(a,b)+P2(a,b)i]/[Q1(a,b)+Q2(a,b)i]
=[P1+P2i][Q1-Q2i]/[Q1+Q2i][Q1-Q2i]
=[P1+P2i][Q1-Q2i]/[Q1^2+Q2^2]
=[P1Q1+P2Q1i-P1Q2i+P2Q2]/[Q1^2+Q2^2]
得出实部=[P1Q1+P2Q2]/[Q1^2+Q2^2]
虚部=[P2Q1-P1Q2]/[Q1^2+Q2^2]
事实上,当z=a-bi时
将其看成z=a+b(-i)即可
不知这样是否严密?