题目

设α,β均为锐角,且sinβ/sinα=cos(α+β),求tanβ的最大值
注意是tanβ的最大值，不是所有可能的值！

提问时间：2020-12-09

答案

sinβ/sinα=cosα*cosβ-sin*αsinβ ……①
①*（sin/αcosβ）得到 tanβ=sinαcosα-sin^2αtanβ
移项再除（1+sin^2α）得到tanβ=sinacosa/（1+sin^2α）
因为1=sin^2α+cos^2α所以sinαcos/α（1+sin^2α）=
sinαcos/α（2sin^2α+cos^2α）……②
②的分子分母同时除cos^2α得到：tan/α（2tan^2α+1）……③
1/③=1/[（2tan^2+1）/tanα]即1/[2tanα+2/2tanα]……④
因为α为锐角所以tanα》0,求tanβ的最大值就是求④的最大值
则要求2tanα+2/2tanα最小值,根据基本不等式得到2tanα+2/2tanα≥2倍根号2
所以1/[2tanα+2/2tanα]最大值为1/2倍根号2
即tanβ的最大值：（根号2）/4