题目

以O为圆心的圆的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6,EB=2,∠CEA=30°,求CD的长的问题中
为什么OC=OD=AB/2=4

提问时间：2020-12-09

答案

AE=6,BE=2 E在AB的上,则AB=AE+BE=6+2=8 所以圆的直径为8,CD为弦,则OC,OD为圆的半径,故有：OC=OD=1/2AB=(1/2)*8=4
在三角形OEC中：∠CEA=30,OE=AE-OA=6-4=2, OC=4 有余弦定理可知：
OC^2=OE^2+CE^2-2OE*CE*cos∠CED 即：
16=4+CE^2-2*2*CE*(√3/2) 故有 CE^2-2√3CE-12=0 (CE-√3)^2=15 CE=√15+√3
在三角形DOE中:∠OED=150,OE=2, OD=4 有余弦定理可知：
OD^2=OE^2+ED^2-2OE*DE*cos∠OED
16=4+DE^2+2*2*DE*(√3/2) 既有：DE^2+2√3DE-12=0 (DE+√3)^2=15 DE=√15-√3
所以CD=CE+DE=2√15