题目

如果a、b是整数，且x²+x-1是ax³+bx+1的因式，则b的值为______．

提问时间：2020-12-09

答案

设ax³+bx+1=（mx-1）（x²+x-1）．
∵（mx-1）（x²+x-1）=mx³+（m-1）x²+（-m-1）x+1，
∴ax³+bx+1=mx³+（m-1）x²+（-m-1）x+1，
比较两边对应项系数，得

a＝m 0＝m−1 b＝−m−1

，
解得

m＝1 a＝1 b＝−2

．
则b的值为-2．
故答案为-2．

由于ax³+bx+1是3次多项式，而此多项式含有一个二次因式x²+x-1，所以它还含有一个一次因式；又常数项1=-1×（-1），故可设ax³+bx+1=（mx-1）（x²+x-1），再将此等式的右边展开相乘，然后两端相比较即可求出b的值．

本题考点：多项式乘多项式；因式分解的意义；解三元一次方程组．

考点点评：本题考查了运用待定系数法分解因式，此知识点超出初中教材大纲要求，属于竞赛题型．运用待定系数法分解因式的特点是：先把多项式模拟分解成系数待定的几个因式的积，根据因式分解与整式乘法的互逆性，再把几个因式相乘，令所得多项式与已知多项式恒等，按多项式恒等的条件--对应项系数相等，列出方程，组成方程组，解方程组求出待定系数，从而完成因式分解．