题目

已知数列{a(n)},a(1)=5,a(2)=2,a(n)=2a(n-1)+3a(n-2).(n>=3).其通项公式如何求?
a(n)=2S(n)^2/2S(n)-1如何变成1/S(n)-1/S(n-1)=2.(n>=2,n是正整数)?

提问时间：2020-12-09

答案

a[n]=2a[n-1]+3a[n-2]
a[n]+a[n-1]=3(a[n-1])+a[n-2])
a2+a1=7
即 a[n]+a[n-1]是首项为-3,公比为3的等比数列
所以 a[n]+a[n-1]=7*3^(n-1)
令n为n-1时,就有 a[n-1]+a[n-2]=7*3^(n-2)
两式相差得：
a[n]=a[n-2]+14*3^(n-3)
当n=2k时,
a[2]=2
a[4]=a[2]+14*3^(4-3)
...
a[2k]=a[2k-2]+14*3(2k-3)
各式两边相加后约去 a[2],a[4],.a[2k-2]
a[2k]=2+14*3^(1)+...+14*3(2k-3)
=2+14*3*(9^(k-1)-1)/8
=2+21/4*(9^(k-1)-1)
(k ∈ N)
同理,可以解得
a[2k+1]=5+7/4*(9^(k-1)-1)
(k ∈ N)
第二题：
a[n]=2S[n]^2/(2S[n]-1)
因为a[n]=S[n]-S[n-1]
即S[n]-S[n-1]=2S[n]^2/(2S[n]-1)
(S[n]-S[n-1])*(2S[n]-1)=2S[n]^2
展开化简就有：
S[n-1]-S[n]=2S[n-1]Sn
两边同除以 S[n-1]Sn 就是结果.