题目

若f（x）=ax³+ax+2（a≠0）满足f（-1）＞1且f（1）＜1，则方程f（x）=1解的个数（　　）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

提问时间：2020-12-09

答案

因为f（x）=ax³+ax+2（a≠0）满足f（-1）＞1且f（1）＜1，
所以f（-1）=-1-a+2＞1且f（1）=a+a+2＜1，
即a＜

1

2

且a＜-

1

2

，所以a＜-

1

2

．
因为f'（x）=3ax²+a=a（3x²+1）＜0，所以函数f（x）在R上单调递减，
所以方程f（x）=1解只有1个．
故选B．

由条件f（-1）＞1且f（1）＜1，得到a＜-

1

2

，求函数的导数f'（x），根据导数得到函数f（x）单调递减．

本题考点：根的存在性及根的个数判断

考点点评：本题主要考查三次函数根的取值情况，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．