题目
已知两点M和N分别在直线Y=MX和Y=-MX(M>0)上运动,且/MN/=2,动点P满足:向量OP的二倍=向量OM+向量ON(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C
1,求曲线C的方程,并讨论曲线C的类型.
2,过点(0,1)作直线L与曲线交于不同的两点A,B,若对于任意M>1,都有∠AOB为锐角,求直线L的斜率K的取值范围.
1,求曲线C的方程,并讨论曲线C的类型.
2,过点(0,1)作直线L与曲线交于不同的两点A,B,若对于任意M>1,都有∠AOB为锐角,求直线L的斜率K的取值范围.
提问时间:2020-12-08
答案
1.
设M、N分别为(x1,mx1)、(x2,-mx2),P(x,y)
∵向量OP的二倍=向量OM+向量ON
∴P是MN的中点
∴x1+x2=2x
mx1-mx2=2y,x1-x2=2y/m
|MN|=√[(x1-x2)²+(mx1+mx2)²]=2
∴(x1-x2)²+(mx1+mx2)²=4
即(x1-x2)²+m²(x1+x2)²=4
∵x1+x2=2x,x1-x2=2y/m
∴(2x)²+(2y/m)²=4
即x² + y²/m² = 1
∴当0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆.
当m=1时,曲线C是以原点为圆心,1为半径的圆.
当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆.
2.
当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆.设A(x1,y1)、B(x2,y2)
y=kx+1
x² + y²/m² = 1
联立得(m²+k²)x²+2kx+1-m²=0
∠AOB是锐角
cos∠AOB>0
cos∠AOB=(向量OA·向量OB)/(|OA||OB|)>0
∴向量OA·向量OB>0
即x1x2+y1y2>0
x1x2=(1-m²)/(m²+k²)
y1y2
=(kx1+1)(kx2+1)
=k²x1x2 + k(x1+x2) + 1
=k²(1-m²)/(m²+k²) - 2k²/(m²+k²) +1
x1x2+y1y2
=(1-m²)/(m²+k²) + k²(1-m²)/(m²+k²) - 2k²/(m²+k²) +1
=(1-m²+k²-k²m²-2k²+m²+k²)/(m²+k²)
=(1-k²m²)/(m²+k²) >0
即1-k²m²>0
k²<1/m²
∴-1/m<k<1/m
设M、N分别为(x1,mx1)、(x2,-mx2),P(x,y)
∵向量OP的二倍=向量OM+向量ON
∴P是MN的中点
∴x1+x2=2x
mx1-mx2=2y,x1-x2=2y/m
|MN|=√[(x1-x2)²+(mx1+mx2)²]=2
∴(x1-x2)²+(mx1+mx2)²=4
即(x1-x2)²+m²(x1+x2)²=4
∵x1+x2=2x,x1-x2=2y/m
∴(2x)²+(2y/m)²=4
即x² + y²/m² = 1
∴当0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆.
当m=1时,曲线C是以原点为圆心,1为半径的圆.
当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆.
2.
当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆.设A(x1,y1)、B(x2,y2)
y=kx+1
x² + y²/m² = 1
联立得(m²+k²)x²+2kx+1-m²=0
∠AOB是锐角
cos∠AOB>0
cos∠AOB=(向量OA·向量OB)/(|OA||OB|)>0
∴向量OA·向量OB>0
即x1x2+y1y2>0
x1x2=(1-m²)/(m²+k²)
y1y2
=(kx1+1)(kx2+1)
=k²x1x2 + k(x1+x2) + 1
=k²(1-m²)/(m²+k²) - 2k²/(m²+k²) +1
x1x2+y1y2
=(1-m²)/(m²+k²) + k²(1-m²)/(m²+k²) - 2k²/(m²+k²) +1
=(1-m²+k²-k²m²-2k²+m²+k²)/(m²+k²)
=(1-k²m²)/(m²+k²) >0
即1-k²m²>0
k²<1/m²
∴-1/m<k<1/m
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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英语翻译
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