题目

已知sinx+cosx=a,求sin^nx+cos^nx关于a的表达式,

提问时间：2020-12-08

答案

这里假设a是正值,并且a的绝对值大于等于1
下面是过程,
f(x)=sin^nx+cos^nx
n=1 f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
n=2 f(x)=1
n=3 f(x)=(sinx)^3+(cosx)^3=(sinx+cosx)(sinx^2+cosx^2-sinxcosx)=(sinx+cosx)(1-sinxcosx)
=(sinx+cosx)[1-(sinx+cosx)^2/2-1/2]
=(1/2)(sinx+cosx)-(3/2)(sinx+cosx)^3
n>3时,
n奇数时 f(x)=(sinx+cosx)^n-g(x) 其中 g(x)= (i=1,n-1)∑ai (sinx)^i cos^(n-i)
n偶数时 f(x)=(sinx^2)^(n/2)+(cosx^2)^(n/2)
=[(1-cos2x)^(n/2)+(1+cos2x)^(n/2)] /2^(n/2)
n奇数时,表达式比较复杂,不写了,
n偶数时,因为sinx+cosx=a,所以sinx-cosx=根号[（a^2-1)/2]
所以sinx^2-cosx^2=a*根号[（a^2-1)/2]
sinx^2+osx^2=1,
解出sinx^2=根号{（a^2-1)/2]*a^2}/2
cosx=1-根号{（a^2-1)/2]*a^2}/2
带入
n偶数时 f(x)=(sinx^2)^(n/2)+(cosx^2)^(n/2)中可以得到表达式,
只能做到这了,加分啊