题目

已知圆C的方程为x²+y²=4,过点M(2,4)作圆C的两条切线
切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆T：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0)的右顶点和上顶点.（1）求椭圆T的方程

提问时间：2020-12-08

答案

原题：已知圆C的方程为x2+y2=4,过点M（2,4）作圆C的两条切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆T：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0)的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆T的方程；
（2）已知直线l与椭圆T相交于P,Q两不同点,直线l方程为y=kx+√ 3(k＞0),O为坐标原点,求△OPQ面积的最大值．
分析：（1）利用点到直线的距离公式,求得另一条切线方程,与圆方程联立,从而可得直线AB的方程,由此可求椭圆T的方程；（2）直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理求出|PQ|,求出原点到直线l的距离,表示出三角形的面积,进而利用基本不等式,即可求得△OPQ面积的最大值．
（1）由题意：一条切线方程为：x=2,设另一条切线方程为：y-4=k（x-2）
则：|4-2k|/√﹙k²+1﹚=2,
解得：k=3/4,
此时切线方程为：y=3/4x+5/2
切线方程与圆方程联立,可得x²+（3/4x+5/2）²=4,从而可得x=-6/5,y=8/5,
则直线AB的方程为x+2y=2
令x=0,解得y=1,∴b=1；令y=0,得x=2,∴a=2
故所求椭圆方程为x²/4+y²=1
（2）联立
y=kx+√3
x²/4+y²=1
整理得(1+4k²)x²+8√3kx+8=0,
令P（x1,y1）,Q（x2,y2）,
则x1+x2=-8√3k/﹙1+4k²﹚,x1x2=8/﹙1+4k²﹚,
△=(8√3k)²-32(1+4k²)＞0,即：2k²-1＞0
又原点到直线l的距离为d=√3/√﹙1+k²﹚,|PQ|=√﹙1+k²﹚|x1-x2|,
∴S△OPQ=1/2|PQ|•d=√3/2|x1-x2|=√3/2√[(x1+x2)²-4x1x2]=2√6•√[﹙2k²-1﹚/(1+4k²)²]=2√6•√﹛﹙2k²-1﹚/[4(2k²-1)²+12(2k²-1)+9]﹜=2√6•√﹛1/[4(2k²-1)+12+9/﹙2k²-1﹚]﹜≤1
当且仅当k=√5/2时取等号,则△OPQ面积的最大值为1．
点评：本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆相切,考查三角形面积的计算,考查基本不等式的运用,正确表示三角形的面积是关键．