题目

根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=-x³+1在（-∞，+∞）上是减函数．

提问时间：2020-12-08

答案

证明：证法一：在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=x₁³-x₂³=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0．
当x₁x₂＜0时，有x₁²+x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂＞0；
当x₁x₂≥0时，有x₁²+x₁x₂+x₂²＞0；
∴f（x₂）-f（x₁）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）
所以，函数f（x）=-x₃+1在（-∞，+∞）上是减函数．
证法二：在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=x₁³-x₂³=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）．
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0．
∵x₁，x₂不同时为零，
∴x₁²+x₂²＞0．
又∵x₁²+x₂²＞

1

2

（x₁²+x₂²）≥|x₁x₂|≥-x₁x₂
∴x₁²+x₁x₂+x₂²＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）．
所以，函数f（x）=-x³+1在（-∞，+∞）上是减函数．