题目

宽与长的比是

5 −1

2

的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．

提问时间：2020-12-08

答案

证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，
∵N为BC的中点，
∴NC=

1

2

BC=a．
在Rt△DNC中，ND＝

NC2+CD2

＝

a2+(2a)2

＝

5

a．
又∵NE=ND，
∴CE=NE-NC=（

5

-1）a．
∴

CE

CD

＝

( 5 −1)a

2a

＝

5 −1

2

．
故矩形DCEF为黄金矩形．

此题首先设出正方形的边长是2a，然后根据作图中的方法分别用a表示出矩形的长和宽，再进一步求得它们的比值，根据黄金矩形的概念即可判断．

本题考点：黄金分割；勾股定理；正方形的性质．

考点点评：考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值．