题目

设f（x）在[a，b]上连续，且恒为正，证明对于任意的x₁，x₂∈（a，b），x₁＜x₂，必存在一点ξ∈[x₁，x₂]，使f（ξ）=

f(x1)f(x2)

．

提问时间：2020-12-08

答案

令F（x）=f2（x）-f（x1）f（x2），x∈[x1，x2]，则F（x）在[x1，x2]上连续．计算可得，F（x1）F（x2）=-f（x1）f（x2）（f（x1）-f（x2））2．（1）如果f（x1）=f（x2），则取ξ=x1 或x2 即可．（2）如果f（x1）≠f...

令F（x）=f²（x）-f（x₁）f（x₂），利用连续函数的零点存在定理即可证明结论．

本题考点：零点定理及其推论的运用；连续函数的性质．

考点点评：本题主要考查了利用连续函数的零点存在定理证明函数根的存在性问题，难度系数适中，需要构造适当的辅助函数．零点存在定理可以确定函数根的存在性以及存在区间，是常考知识点，需要熟练掌握．