题目

若抛物线x^2=2y的顶点是在抛物线上距离点A(0,a)（a>0)最近的点,求a的取值范围.
作以(0,a)为圆心,a为半径的圆：x＾+（y-a）＾=a＾
联立方程组得:2y+y＾-2ay=0
y＾+（2-2a）y=0
△=（2-2a）＾≥0
a≤1
∴0＜a≤1
但为什么△≥0?
圆与抛物线相切不是应该△=0吗?
^后面都漏了个“2”
就是平方

提问时间：2020-12-08

答案

作以(0,a)为圆心,a为半径的圆： x＾2+（y-a）＾2=a＾2
联立方程组得:2y+y＾2-2ay=0
y＾2+（2-2a）y=0
y(y-(2a-2))=0
所以:y=0 及y=2a-2
如2a-2>0,则抛物线与圆将有三个交点(因y=2a-2对应正负两个x)
这时顶点不是在抛物线上距离点A(0,a)最近的点
如2a-2<=0,则y=2a-2<0不是方程的根,y＾2+（2-2a）y=0 将只有y=0一个解,这时顶点是在抛物线上距离点A(0,a)最近的点
由2a-2<=0,得a≤1
∴0＜a≤1