题目
如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=a,CQ=
a时,P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示).
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=a,CQ=
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提问时间:2020-12-07
答案
(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°,AB=AC,
∵AP=AQ,
∴BP=CQ,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
在△BPE和△CQE中,
∵
,
∴△BPE≌△CQE(SAS);
(2)连接PQ,
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=45°,
∵∠BEQ=∠EQC+∠C,
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,
∴∠BEP=∠EQC,
∴△BPE∽△CEQ,
∴
=
,
∵BP=a,CQ=
a,BE=CE,
∴
=
,
∴BE=CE=
a,
∴BC=3
a,
∴AB=AC=BC•sin45°=3a,
∴AQ=CQ-AC=
a,PA=AB-BP=2a,
在Rt△APQ中,PQ=
=
a.
∴∠B=∠C=45°,AB=AC,
∵AP=AQ,
∴BP=CQ,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
在△BPE和△CQE中,
∵
|
∴△BPE≌△CQE(SAS);
(2)连接PQ,
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=45°,
∵∠BEQ=∠EQC+∠C,
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,
∴∠BEP=∠EQC,
∴△BPE∽△CEQ,
∴
BP |
CE |
BE |
CQ |
∵BP=a,CQ=
9 |
2 |
∴
a |
CE |
CE | ||
|
∴BE=CE=
3
| ||
2 |
∴BC=3
2 |
∴AB=AC=BC•sin45°=3a,
∴AQ=CQ-AC=
3 |
2 |
在Rt△APQ中,PQ=
AQ2+AP2 |
5 |
2 |
(1)由△ABC是等腰直角三角形,易得∠B=∠C=45°,AB=AC,又由AP=AQ,E是BC的中点,利用SAS,可证得:△BPE≌△CQE;
(2)由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,易得∠B=∠C=∠DEF=45°,然后利用三角形的外角的性质,即可得∠BEP=∠EQC,则可证得:△BPE∽△CEQ;根据相似三角形的对应边成比例,即可求得BE的长,即可得BC的长,继而求得AQ与AP的长,利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离.
(2)由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,易得∠B=∠C=∠DEF=45°,然后利用三角形的外角的性质,即可得∠BEP=∠EQC,则可证得:△BPE∽△CEQ;根据相似三角形的对应边成比例,即可求得BE的长,即可得BC的长,继而求得AQ与AP的长,利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离.
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;旋转的性质.
此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理.此题难度较大,注意数形结合思想的应用.
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