题目

如图，已知圆C：（x-1）²+y²=r²（r>1），设M为圆C与x轴负半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上．

（Ⅰ）当r=2时，求满足条件的P点的坐标；
（Ⅱ）当r∈（1，+∞）时，求点N的轨迹G的方程；
（Ⅲ）过点P（0，2）的直线l与（Ⅱ）中轨迹G相交于两个不同的点E、F，若

CE

•

CF

>0，求直线l的斜率的取值范围．

提问时间：2020-12-07

答案

（1）：由已知得，r=2时，可求得M点的坐标为（-1，0），
设N（x，y）则

(x-1)2+y2=4 x-1=0

解得N（1，±2）．
所以MN的中点P坐标为（0，±1）．
（2）：设N（x，y）由已知得，在圆方程中令y=0，求得M点的坐标为（1-r，0）．
设P（0，b），则由k_CPk_mp=-1（或用勾股定理）得：r=b²+1．
则

(x-1)2+y2=r2 x+1-r=0

，消去r，
又r>1，所以点N的轨迹方程为y²=4x（x≠0）．
（3）设直线l的方程为y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

y=kx+2 y2=4x ，

消去y得k²x²+（4k-4）x+4=0，因为直线l与抛物线y²=4x（x>0）相交于两个不同的点M，N，
所以△=-32k+16>0，所以k<

1

2

，
又因为

CM

•

CN

>0，所以（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂>0，
所以（k²+1）x₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5>0，得k²+12k>0，
所以k>0或k<-12，
综上可得0<k<

1

2

或k<-12．

（1）由已知得，r=2时，可求得M点的坐标为（-1，0），设N（x，y）联立方程可解得MN的中点P坐标；
（2）设N（x，y）由已知得，先利用圆方程求得M点的坐标，再设P（0，b），得：r=b²+1．利用圆的方程与x+1-r=0消去r，即可得出点N的轨迹方程；
（3）设直线l的方程为y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积公式即可求得k值范围，从而解决问题．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题是中档题，考查动点的轨迹方程的求法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．