题目

已知函数f（x）=x^2＋λx,p、q、r为⊿ABC的三边,且p＜q＜r,若对所有的正整数p、q、r都满足f（p）＜f（q）＜f（r）,则λ的取值范围是（ ）
A 、λ＞-2 B、λ大于-3
C 、λ＞-4 D、 λ大于-5
网上有以下解答,拜托看下应该是哪个
因为f（x）的对称轴为x=- λ2,a=1＞0,
在对称轴的左边,f（x）是递减函数,
在对称轴的右边,f（x）是递增函数,
p、q、r都是≥1的正整数且p＜q＜r,若对所有的正整数p、q、r都满足f（p）＜f（q）＜f（r）,
那么必需p、q、r都在f（x）对称轴的右边,即p、q、r都大于- λ2．
因为p、q、r中p的最小值可以为1,
所以- λ2＜1,
解得λ＞-2．
故选A．
p的最小值可以不能为1,因为p、q、r为△ABC的三边,且p＜q＜r,p的最小值可以为2,解得λ＞-4
分析：f(r)-f(q)>0
r²＋λr-(q²＋λq)=r²-q²＋λr-λq=(r+q)(r-q)+λ(r-q)
=(r-q)(r+q+λ)>0 ① 又q＜r,∴(r+q+λ)>0 ,λ>-(r+q)
同理,(q-p)(q+p+λ)>0 ② 又p＜q,∴(q+p+λ)>0 ,λ>-(p+q)
(r-p)(r+p+λ)>0 ③ 又p＜q,∴(r+p+λ)>0 ,λ>-(r+q)
又p＜q＜r,∴λ>最大的-(p+q),
p、q、r三者均为正整数,p＜q＜r,r min=1,qmin=2
λ>-3
首先f(x)是一个开口向上的二次函数,对称轴x=-λ/2
又p＜q＜r(注意不能等)都为正整数,并且p、q、r要构成三角形三边
即p+q＞r,所以p不能取1,也就是说p至少取2,那么q至少取3
则f(p)＜f(q),那么对称轴要更靠近x=2
即-λ/2＜5/2,λ＞-5
2009年湖北省鄂州高中自主招生考试数学试题 第12题
请高手能说下理由

提问时间：2020-12-07

答案

λ＞-5
第四个答案包含了上述三种范围,只是更精确地分析了p,q,r的取值范围,因此答案更准确