题目

关于x的方程kx²-（k-1）x+1=0有有理根，求整数k的值．

提问时间：2020-12-07

答案

（1）当k=0时，x=-1，方程有有理根．
（2）当k≠0时，因为方程有有理根，
所以若k为整数，则△=（k-1）²-4k=k²-6k+1必为完全平方数，
即存在非负整数m，使k²-6k+1=m²．
配方得：（k-3+m）（k-3-m）=8，
由k-3+m和k-3-m是奇偶性相同的整数，其积为8，
所以它们均是偶数．又k-3+m≥k-3-m．
从而

k−3+m＝4 k−3−m＝2

或

k−3+m＝−2 k−3−m＝−4

解得k=6或k=0（舍去），综合（1）（2），
所以方程kx²-（k-1）x+1=0有有理根，整数k的值为0或6．

先要讨论k的取值确定方程，（1）k=0，方程为一元一次方程，显然有有理根；（2）k≠0，方程为一元二次方程，要有理根，则△=（k-1）²-4k=k²-6k+1必为完全平方数，可设k²-6k+1=m²（m非负整数），变形为：（k-3+m）（k-3-m）=8，然后利用m，k都为整数，运用整数的性质，转化为两个二元一次方程组求解即可．

本题考点：根的判别式；奇数与偶数；解二元一次方程组．

考点点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△为完全平方数时，方程有两个有理数根；同时整数的奇偶性和整除的性质以及二元一次方程组的解法．