题目

已知点p(4,4),圆 C(x-m)^2+y^2=5(m＜3)与椭圆Ex^2/a^2 + y^2/b^2=1(a>b>0)有一个公共点A（1,3）
F1,F2分别是椭圆的左右焦点,直线PF1与圆C相切,1）求m的值与椭圆E的方程,2）设Q是椭圆E上的一个动点,求向量AP*向量AQ的取值范围

提问时间：2020-12-07

答案

(1)由于：A(3,1)在圆c:(x-m)^2+y^2=5
和椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1上
则有：(3-m)^2+1^2=5 -----(1)
9/a^2+1/b^2=1 -----(2)
解(1)可得：m=5或1
由于：m0；则由上式得：c=4
则有：a^2-b^2=c^2=16 ------(3)
联立(1)(3)可得：a^2=18,b^2=2
则：椭圆E的方程:x^2/18+y^2/2=1
(2)
设Q(x,y)；由于：P(4,4)A(3,1)
则：向量AP=(1,3);向量AQ=(x-3,y-1)
则：向量AP*向量AQ
=1*(x-3)+3*(y-1)
=x-3+3y-3
=x+3y-6
由于：Q(x,y)为椭圆E上的一个动点
且椭圆E：x^2/18+y^2/2=1
则利用椭圆的参数方程
则令x=3√2cosa,y=√2sina(a属于R)
则：向量AP*向量AQ=x+3y-6
=3√2cosa+3√2sina-6
=3√2(sina+cosa)-6
=3√2(√2)[(√2/2)sina+(√2/2)cosa]-6
=6[sinacos45+sin45cosa]-6
=6sin(a+45)-6
由于：a属于R,则：(a+45)属于R
则：sin(a+45)属于[-1,1]
则：6sin(a+45)-6属于[-12,0]
即：向量AP*向量AQ的取值范围:[-12,0]