题目

如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.甲同学认为：若MN=EF，则MN⊥EF；乙同学认为：若MN⊥EF，则MN=EF.你认为（　　）
A. 两人都不对
B. 两人都对
C. 仅甲对
D. 仅乙对

提问时间：2020-12-06

答案

如图，过点E作EG⊥BC于点G，过点M作MP⊥CD于点P，设EF与MN相交于点O，MP与EF相交于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴EG=MP，
对同学甲的说法：
在Rt△EFG和Rt△MNP中，

MN＝EF EG＝MP

，
∴Rt△EFG≌Rt△MNP（HL），
∴∠MNP=∠EFG，
∵MP⊥CD，∠C=90°，
∴MP∥BC，
∴∠EQM=∠EFG=∠MNP，
又∵∠MNP+∠NMP=90°，
∴∠EQM+∠NMP=90°，
在△MOQ中，∠MOQ=180°-（∠EQM+∠NMP）=180°-90°=90°，
∴MN⊥EF，
当E向D移动，F向B移动，同样使MN=EF，此时就不垂直，
故甲不正确．
对乙同学的说法：∵MP⊥CD，∠C=90°，
∴MP∥BC，
∴∠EQM=∠EFG，
∵MN⊥EF，
∴∠NMP+∠EQM=90°，
又∵MP⊥CD，
∴∠NMP+∠MNP=90°，
∴∠EQM=∠MNP，
∴∠EFG=∠MNP，
在△EFG和△MNP中，

∠EFG＝∠MNP ∠EGF＝∠MPN＝90° EG＝MP

，
∴△EFG≌△MNP（AAS），
∴MN=EF，故乙同学的说法正确，
综上所述，仅乙同学的说法正确．
故选D．

分别过点E作EG⊥BC于点G，过点M作MP⊥CD于点P，设EF与MN相交于点O，MP与EF相交于点Q，根据正方形的性质可得EG=MP，对甲同学的说法，先利用“HL”证明Rt△EFG和Rt△MNP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠MNP=∠EFG，再根据角的关系推出∠EQM=∠MNP，然后根据∠MNP+∠NMP=90°得到∠NMP+∠EQM=90°，从而得到∠MOQ=90°，根据垂直的定义，MN⊥EF，当E向D移动，F向B移动，同样使MN=EF，此时就不垂直；对乙同学的说法，先推出∠EQM=∠EFG，∠EQM=∠MNP，然后得到∠EFG=∠MNP，然后利用“角角边”证明△EFG和△MNP全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MN．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键，通常情况下，求两边相等，或已知两边相等，都是想法把这两条线段转化为全等三角形的对应边进行求解．