题目

关于复数z的方程z²-（a+i）z-（i+2）=0（a∈R），
（1）若此方程有实数解，求a的值；
（2）用反证法证明：对任意的实数a，原方程不可能有纯虚根．

提问时间：2020-12-06

答案

（1）若此方程有实数解，设z=m∈R，代入方程可得 m²-（a+i）m-（i+2）=0，
即m²-am-2+（-m-1）i=0，∴m²-am-2=0，且-m-1=0，
∴m=-1，a=1．
（2）假设原方程有纯虚根，令z=ni，n≠0，则有 （ni）²-（a+i）ni-（a+2）i=0，
整理可得-n²+n-2+（-an-1）i=0，∴

−n2 +n −2 ＝ 0   ① −an−1 ＝ 0    ②

，
∴对于①，判别式△＜0，方程①无解，故方程组无解无解，故假设不成立，
故原方程不可能有纯虚根．

（1）若此方程有实数解，设z=m∈R，代入方程利用两个复数相等的充要条件，解方程求得a的值．
（2）假设原方程有纯虚根，令z=ni，n≠0，整理可得-n²+n-2+（-an-1）i=0，利用两个复数相等的充要条件
可得

−n2 +n −2 ＝ 0   ① −an−1 ＝ 0    ②

，由于①的判别式△＜0，方程①无解，故方程组无解无解，从而得到结论．

本题考点：反证法与放缩法．

考点点评：本题考查两个复数相等的充要条件，用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．