题目

4．已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG． （1）
4．已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG．问（1）中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问（1）中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?（均不要求证明）

提问时间：2020-12-06

答案

（1）证明：在Rt△FCD中,
∵G为DF的中点,
∴ CG= FD．………………1分
同理,在Rt△DEF中,
EG= FD． ………………2分
∴ CG=EG．…………………3分
（2）（1）中结论仍然成立,即EG=CG．…………………………4分
证法一：连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中,
∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴ △DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．………………………5分
在△DMG与△FNG中,
∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形AENM中,AM=EN． ……………6分
在Rt△AMG 与Rt△ENG中,
∵ AM=EN,MG=NG,
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG．
∴ EG=CG． ……………………………8分
证法二：延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC,……………………4分
在△DCG 与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG ≌△FMG．
∴MF=CD,∠FMG＝∠DCG．
∴MF‖CD‖AB．………………………5分
∴ ．
在Rt△MFE 与Rt△CBE中,
∵ MF=CB,EF=BE,
∴△MFE ≌△CBE．
∴ ．…………………………………………………6分
∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7分
∴ △MEC为直角三角形．
∵ MG = CG,
∴ EG= MC．
∴ ．………………………………8分
（3）（1）中的结论仍然成立,
即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分