题目

已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0．

提问时间：2020-12-06

答案

证明：先证必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+（1-a）³+a（1-a）-a²-（1-a）²
=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²
=0
再证充分性：
∵a³+b³+ab-a²-b²=0
∴（a+b）（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）=0
即：（a²-ab+b²）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a²-ab+b²=(a-

1

2

b)2+

3

4

b2＞0，
∴a+b-1=0，即a+b=1
综上所述：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0