题目

有理数巧算
以下几题：
1、1+5+5的二次方+5的三次方+……5的一百次方的值
2、（1-1/2的2次方）*（1-1、3的2次方）……（1-1/9的2次方)*(1-1/10的2次方）
3、1/1*2+1/2*3+1/30133+……+1/1998*1999
4、1+1/3+1/3的平方+1/3的3次方+……+1/3的2000次方
5、1又1/3-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56
劳驾了!

提问时间：2020-12-06

答案

（1）
设S = 1+5+5的二次方+5的三次方+……5的一百次方
两边同乘以5,得到
5S = 5+5的二次方+5的三次方+……5的一百次方+5的一百零一次方
两式相减得到：4S = 5的一百零一次方 - 1
所以 S = （5^101 - 1）/ 4
(2)平方和展开
（1-1/2的2次方）*（1-1、3的2次方）……（1-1/9的2次方)*(1-1/10的2次方）
=(1/2 × 3/2) ×(2/3 × 4/3) ×(3/4 ×5/4)×……
=1/2 × 11/10 = 11/20
(3)利用1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)
1/1*2+1/2*3+……+1/1998*1999
=(1 - 1/2 )+ (1/2 - 1/3)……
=1 - 1/1999
=1998/1999
(4)方法同第一题,设总和为S,两边同时乘以 1/3
(5) 1又1/3-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56
=（1+1/3)-(1/3+1/4)+(1/4+1/5)-(1/5+1/6)+(1/6+1/7)-(1/7+1/8)
=1-1/8
=7/8