题目

已知点A（-3,1）在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左准线上,过A点,斜率为-5/2的光线,经直线y=-2反射后经过椭圆的左焦点F
（1）求椭圆方程
（2）点p是直线y=-2上的一个动点,求以AP为直径且经过点F的圆的方程

提问时间：2020-12-06

答案

(1). 点A(-3,1)关于 y=-2 的对称点为A'(-3,-5).
又∵过A点,斜率为 -5/2的光线,经直线y=-2反射.
∴过A'、F点的直线方程为： y+5= (5/2)(x+3).
当y=0时,x=1. 即：c=1.
又∵椭圆 x²/a²+y²/b²=1,(a>b>0)的左准线的方程为：x=-a²/c=-3.
∴ a²=3, b²=2.
∴椭圆的方程为：x²/3+y²/2=1.
(2).过A(-3,1),F(-1,0)点的直线方程为： x+2y+1=0.
∵ AP为直径且经过点F的圆,
可知：直线FP⊥直线AF.
∴直线FP的斜率=2.
∴ 直线FP的方程为：y=2(x+1).
∴y=-2, x=-2. 即P点的坐标为(-2,-2).
∴ AP=√10, 圆心坐标为：（-5/2,-1/2).
∴ 圆的方程为：(x+5/2)²+(y+1/2)²=5/2.