题目

已知数列{a_n}成等差数列，S_n表示它的前n项和，且a₁+a₃+a₅=6，S₄=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{a_nS_n}中，从第几项开始（含此项）以后各项均为正整数？

提问时间：2020-12-06

答案

（1）∵数列{a_n}成等差数列，且a₁+a₃+a₅=6，S₄=12，
∴

a1+a1+2d+a1+4d＝6 4a1+ 4×3 2 d＝12

，
∴a₁=6，d=-2，
∴a_n=6+（n-1）×（-2）=8-2n．
（2）∵a₁=6，d=-2，
∴Sn＝6n+

n(n−1)

2

×(−2)=（7-n）n，
∵a_n=8-2n，
∴0＜n＜4时，a_n＞0，S_n＞0，
4＜n＜7时，a_n＜0，S_n＞0，
n＞7时，a_n＜0，S_n＜0．
故n≥8时，a_nS_n＞0．
故数列{a_nS_n}中，从第8项开始（含此项）以后各项均为正整数．

（1）由数列{a_n}成等差数列，且a₁+a₃+a₅=6，S₄=12，根据等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出a₁=6，d=-2，由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）由a₁=6，d=-2，得Sn＝6n+

n(n−1)

2

×(−2)=（7-n）n，由n的取值进行分类讨论，能求出数列{a_nS_n}中，从第向项开始（含此项）以后各项均为正整数．

本题考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．