题目

已知数列{an}的首项a1=a(a是常数且a≠-1）,an=2a(n-1)+1(n∈N,n≥2).
(1){an}是否可能是等差数列,若可能,求出{an}的通向公式；若不可能,说明理由;
(2)设bn=an+c（c∈N,c是常数）,若{bn}是等比数列,求实数c的值,并求出{an}的通项公式.

提问时间：2020-12-05

答案

An=2A(n-1)+1
假设可能是等差数列,那么设An＝A（n－1）＋d
代入有：A（n－1）＋d=2A(n-1)+1
A(n-1)=d-1 这样当n>=2时,An成了常数列了.
d只能为0,d为0时,A2＝A1＝－1
而题目中说了,首项A1=A(A是常数且A不等于-1),
所以假设不成立.即{An}不可能是等差数列.
还可以直接求出来An的表达式,An=2A(n-1)+1
设An＋a=2〔A(n-1)＋a〕
解得：a＝1
所以｛An＋1｝为等比数列,q＝2 首项为A1＋1＝A＋1
所以An＋1＝(A＋1)*2^(n-1)
所以An＝(A＋1)*2^(n-1)－1
当n＝1时候,也成立,所以
An＝(A+1)*2^(n-1)－1
所以An－An-1＝(A+1)*2^(n-1)－1－(A+1)*2^(n-2)－1
＝(A+1)*2^(n-2)
显然不为常数,所以不是等差数列.
2 Bn=An+c＝(A+1)*2^(n-1)－1＋C
若{Bn}是等比数列,有Bn+1=Bn*q
即(A+1)*2^n－1＋C＝q(A+1)*2^(n-1)－q＋qC
（2－q）*(A+1)*2^（n-1）－1＋c＝－q＋qC
显然整理后的（2－q）*(A+1)*2^（n-1）项的系数（2－q）*(A+1)＝0
即q＝2
再代入：－1＋c＝－2＋2c
所以c＝1
所以Bn=(A+1)*2^(n-1)