题目

如图1，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点，点C是直线AB上一动点．

（1）若∠OAB比∠OBA大20°，OC⊥AB，求∠AOC的度数；
（2）如图2，AM平分∠BAO，BM平分∠OBN，当A点在x轴负半轴上运动时，∠AMB的值是否发生变化？若不变求出∠AMB的度数；若变化请说明理由；
（3）如图3，若∠OAB=45°，且∠OPA=∠BPD，∠BDP=∠ODF，则下列两个结论：
 ①DF∥AB，②DF⊥OP，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并说明理由．

提问时间：2020-12-05

答案

（1）∵∠AOB=90°，∠OAB比∠OBA大20°，
∴

∠OAB−∠OBA＝20° ∠OAB+∠OBA＝90°

，
解得：∠OBA=35°，
∵OC⊥AB，
∴∠OCA=∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠OBA=35°；
（2）∠AMB的值不发生变化；
∵∠BAM=

1

2

∠BAO，∠ABM=∠ABO+∠OBM=∠ABO+

1

2

（∠AOB+∠BAO）=∠ABO+

1

2

（90°+∠BAO），
∴∠AMB=180°-（∠BAM+∠ABM）=180°-[

1

2

∠BAO+∠ABO+

1

2

（90°+∠BAO）]=45°；
（3）②DF⊥OP正确；
∵∠OAB=45°，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠OPA=∠BPD，
∴∠PDB=∠PDB，
∵∠BDP=∠ODF，
∴∠AOP=∠ODF，
∵∠AOP+∠POD=90°，
∴∠ODF+∠POD=90°，
∴∠OED=90°，
∴DF⊥OP．

（1）根据已知得出

∠OAB−∠OBA＝20° ∠OAB+∠OBA＝90°

，解得：∠OBA=35°，然后根据同角的余角相等即可求得；
（2）由于∠BAM=

1

2

∠BAO，∠ABM=∠ABO+

1

2

（90°+∠BAO），根据三角形的内角和定理即可证得∠AMB=45°；
（3）根据三角形的内角和定理求得∠PDB=∠PDB，进而求得∠AOP=∠ODF，因为∠AOP+∠POD=90°，求得∠ODF+∠POD=90°，即可求得．

本题考点：三角形内角和定理；坐标与图形性质；三角形的外角性质．

考点点评：本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、互为余角的性质、坐标和图形的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．