题目

在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形,直线L经过O,C两点,点A的坐标为（8,0）,点B的坐标为（11
,4）,动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A-B-C的方向向点C运动,过点P 作PM垂直于X轴,与折线O-C-B相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P,Q运动的时间为T秒（T大于O）,△MPQ的面积为S.
（1）点C的坐标为 ,直线L的解析式为 ；
（2）试示点Q与点M相遇前S与T的函数关系式,并写出相应的T的取值范围；
（3）试求题（2）中当T为何值时,S的值最大,并求出S的最大值；
（4）随着P,Q两点的运动,当点M的线段CB上运动时,设PM的延长线与直线L相交于点N,试探究：T为何值时,△QMN为等腰三角形?请写出T的值.

提问时间：2020-12-05

答案

（1）由题意知：点A的坐标为（8,0）,点B的坐标为（11.4）,
且OA=BC,故C点坐标为C（3,4）,
设直线l的解析式为y=kx,
将C点坐标代入y=kx,
解得k=4 3 ,
∴直线l的解析式为y=4 3 x；
故答案为：（3,4）,y=4 3 x；
（2）根据题意,得OP=t,AQ=2t．分三种情况讨论：
①当0＜t≤5 2 时,如图1,M点的坐标是（t,4 3 t）．
过点C作CD⊥x轴于D,过点Q作QE⊥x轴于E,可得△AEQ∽△ODC,
∴AQ OC =AE OD =QE CD ,
∴2t 5 =AE 3 =QE 4 ,
∴AE=6t 5 ,EQ=8 5 t,
∴Q点的坐标是（8+6 5 t,8 5 t）,
∴PE=8+6 5 t-t=8+1 5 t,
∴S=1 2 •MP•PE=1 2 •4 3 t•(8+1 5 t)=2 15 t2+16 3 t,
②当5 2 ＜t≤3时,如图2,过点Q作QF⊥x轴于F,
∵BQ=2t-5,
∴OF=11-（2t-5）=16-2t,
∴Q点的坐标是（16-2t,4）,
∴PF=16-2t-t=16-3t,
∴S=1 2 •MP•PF=1 2 •4 3 t•(16-3t)=-2t2+32 3 t,
③当点Q与点M相遇时,16-2t=t,解得t=16 3 ．
当3＜t＜16 3 时,如图3,MQ=16-2t-t=16-3t,MP=4．
S=1 2 •MP•PF=1 2 •4•（16-3t）=-6t+32,
（3）①当0＜t≤5 2 时,S=2 15 t2+16 3 t=2 15 (t+20)2-160 3 ,
∵a=2 15 ＞0,抛物线开口向上,t=5 2 时,最大值为85 6 ；
②当5 2 ＜t≤3时,S=-2t2+32 3 t=-2(t-8 3 )2+128 9 ．
∵a=-2＜0,抛物线开口向下．
∴当t=8 3 时,S有最大值,最大值为128 9 ．
③当3＜t＜16 3 时,S=-6t+32,
∵k=-6＜0．
∴S随t的增大而减小．
又∵当t=3时,S=14．当t=16 3 时,S=0．
∴0＜S＜14．
综上所述,当t=8 3 时,S有最大值,最大值为128 9 ．
（4）当M点在线段CB上运动时,点Q一定在线段CB上,
①点Q在点M右侧,QM=xQ-xM=16-2t-t=16-3t,NM=NP-MP=4 3 t-4
则有16-3t=4 3 t-4 解得t=60 13 ；
②点Q在点M左侧,QM=xM-xQ=3t-16,NM=NP-MP=4 3 t-4
则有3t-16=4 3 t-4 解得t=36 5
但是,点Q的运动时间为（5+8）÷2=6.5秒,故将②舍去．
当t=60 13 时,△QMN为等腰三角形．