题目

有关西姆松定理
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线.（此线常称为西姆松线）.
求证：若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角,跟P的位置无关.

提问时间：2020-12-05

答案

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线.（此线常称为西姆松线） 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上.相关的结果有：（1）称三角形的垂心为H.西姆松线和PH的交点为线段PH的中点,且这点在九点圆上.（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角.（3）若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角,跟P的位置无关.（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上.
[编辑本段]证明
证明一：△ABC外接圆上有点P,且PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PD⊥BC于D,分别连DE、DF.易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆,于是∠FDP=∠ACP ①,（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180° ④ 即F、D、E共线.反之,当F、D、E共线时,由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.证明二：如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆,有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.故A、B、P、C四点共圆.若A、B、P、C四点共圆,则∠PBN = ∠PCM.因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.故L、M、N三点共线.
[编辑本段]相关性质的证明
连AH延长线交圆于G,连PG交西姆松线与R,BC于Q 如图连其他相关线段 AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2A.G.C.P共圆==>∠2=∠3 PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4 ==>∠1=∠4 PF⊥BC ==>PR=RQ BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6 A.B.G.C共圆==>∠6=∠7 ==>∠5=∠7 AG⊥BC==>BC垂直平分GH ==>∠8=∠2=∠4 ∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10 ==>HQ//DF ==>PM=MH 第二个问,平分点在九点圆上,如图：设O,G,H 分别为三角形ABC的外心,重心和垂心.则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心,而G还是它的重心.那么三角形XYZ的外心 O1,也在同一直线上,并且 HG/GO=GO/GO1=2,所以O1是OH的中点.三角形ABC和三角形XYZ位似,那么它们的外接圆也位似.两个圆的圆心都在OH上,并且两圆半径比为1:2 所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的"反"位似中心(相似点在位似中心的两边),H 是"正"位似中心(相似点在位似中心的同一边)...所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上.