题目
设A为数域P上的n维线性空间V的线性变换,且A^2=A
证明:(1)V=A的核加A的值域为直和
(2)如果B是V的线性变换,A的核与A的值域是B的不变子空间的充要条件是AB=BA
证明:(1)V=A的核加A的值域为直和
(2)如果B是V的线性变换,A的核与A的值域是B的不变子空间的充要条件是AB=BA
提问时间:2020-12-05
答案
(1) 两个子空间的和是直和只需要证明它们的交只有零向量.
设Y∈ker(A)∩im(A),则AY = 0且存在X使Y = AX.
∵A² = A,∴Y = AX = A²X = A(AX) = AY = 0.即ker(A)∩im(A) = {0},二者的和为直和.
(2) 充分性:对X∈ker(A),AX = 0.∴A(BX) = BAX = 0,BX∈ker(A).ker(A)是B的不变子空间.
而对Y∈im(A),存在X使Y = AX,∴BY = BAX = A(BX)∈im(A).im(A)也是B的不变子空间.
必要性:ker(A)的维数为n-r(A),im(A)的维数为r(A).已证二者的和是直和,于是V = ker(A)+im(A).
对X∈ker(A),有AX = 0,∴BAX = 0.∵ker(A)是B的不变子空间,∴BX∈ker(A),∴ABX = 0 = BAX.
而对Y∈im(A),存在X使Y = AX,∴AY = A²X = AX = Y,∴BAY = BY.
∵im(A)是B的不变子空间,∴存在Z使BY = AZ,∴ABY = A²Z = AZ = BY = BAY.
AB与BA在ker(A)和im(A)上的限制相等.又∵V = ker(A)+im(A),∴在V上有AB = BA.
设Y∈ker(A)∩im(A),则AY = 0且存在X使Y = AX.
∵A² = A,∴Y = AX = A²X = A(AX) = AY = 0.即ker(A)∩im(A) = {0},二者的和为直和.
(2) 充分性:对X∈ker(A),AX = 0.∴A(BX) = BAX = 0,BX∈ker(A).ker(A)是B的不变子空间.
而对Y∈im(A),存在X使Y = AX,∴BY = BAX = A(BX)∈im(A).im(A)也是B的不变子空间.
必要性:ker(A)的维数为n-r(A),im(A)的维数为r(A).已证二者的和是直和,于是V = ker(A)+im(A).
对X∈ker(A),有AX = 0,∴BAX = 0.∵ker(A)是B的不变子空间,∴BX∈ker(A),∴ABX = 0 = BAX.
而对Y∈im(A),存在X使Y = AX,∴AY = A²X = AX = Y,∴BAY = BY.
∵im(A)是B的不变子空间,∴存在Z使BY = AZ,∴ABY = A²Z = AZ = BY = BAY.
AB与BA在ker(A)和im(A)上的限制相等.又∵V = ker(A)+im(A),∴在V上有AB = BA.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 13.九月份用电量比八月份节约15%,九月份用电量是八月份的( )%,( )*15%=( ) ,( )*(1-15%)=( )
- 23/10x+1/2=3/4 怎么算
- 3the boy is old enough to go to school
- 4填近义词组成成语
- 510a方x-15a方y+5a方分解因式
- 6co 和 co2混合气体中碳元素和氧元素质量比5:12则混合气体中CO和CO2分子数目比为
- 7三合土为什么不怕水
- 8重200n的木箱最大静摩80n.摩擦力因数为0.35.当拉力为.75n时所受摩擦 当为90n时.是多少
- 9设函数f(x)=log*(bx+1)(a>0,a不等于1)的图象过点(1,1),其反函数的图象过点(2,4),则a+b=
- 10已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+m-1=0},若A∩B=A,求实数m的取值范围
热门考点