题目
已知△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,点E为AB上一点,且∠EDB=∠B,现有下列两个结论:①AB=AD+CD ②AB=AC+CD.
(1)如图1,若∠C=90°,则结论______成立,并证明你的结论.
(2)如图2,若∠C=100°,则结论______成立,并证明你的结论.
(1)如图1,若∠C=90°,则结论______成立,并证明你的结论.
(2)如图2,若∠C=100°,则结论______成立,并证明你的结论.
提问时间:2020-12-05
答案
(1)∵∠C=90°,AC=BC,
∴∠B=45°,
∵∠EDB=∠B,
∴∠DEB=90°,BE=DE,
∴DE⊥AB,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DC,
在Rt△ACD和Rt△AED中
,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE,
∴AB=AE+BE=AC+CD,所以②正确;
(2)∵∠C=100°,AC=BC,
∴∠B=∠CAB=40°,
∵∠EDB=∠B,
∴∠DEB=100°,BE=DE,
∴∠AED=80°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=20°,
∴∠ADE=180°-80°-20°=80°,
∴AD=AE,
过点D作DF⊥AC于点F,作DH⊥AB于点H,
∴DF=DH,
易得△CDF≌△EDH,
∴CD=DE,
∴CD=BE,
∴AB=AE+BE=AD+CD,所以①正确.
故答案为②;①.
∴∠B=45°,
∵∠EDB=∠B,
∴∠DEB=90°,BE=DE,
∴DE⊥AB,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DC,
在Rt△ACD和Rt△AED中
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∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE,
∴AB=AE+BE=AC+CD,所以②正确;
(2)∵∠C=100°,AC=BC,
∴∠B=∠CAB=40°,
∵∠EDB=∠B,
∴∠DEB=100°,BE=DE,
∴∠AED=80°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=20°,
∴∠ADE=180°-80°-20°=80°,
∴AD=AE,
过点D作DF⊥AC于点F,作DH⊥AB于点H,
∴DF=DH,
易得△CDF≌△EDH,
∴CD=DE,
∴CD=BE,
∴AB=AE+BE=AD+CD,所以①正确.
故答案为②;①.
(1)由∠C=90°,AC=BC得到∠B=45°,再由∠EDB=∠B得到∠DEB=90°,BE=DE,即DE⊥AB,根据角平分线的性质得到DE=DC,然后利用“HL”可证明Rt△ACD≌Rt△AED,则AC=AE,于是AB=AE+BE=AC+CD;
(2)由∠C=100°,AC=BC得到∠B=∠CAB=40°,再由∠EDB=∠B得到∠DEB=100°,BE=DE,则∠AED=80°,然后根据角平分线的定义得∠DAE=20°,于是利用三角形内角和定理可计算出∠ADE=80°,所以AD=AE,于是AB=AE+BE=AD+CD.
(2)由∠C=100°,AC=BC得到∠B=∠CAB=40°,再由∠EDB=∠B得到∠DEB=100°,BE=DE,则∠AED=80°,然后根据角平分线的定义得∠DAE=20°,于是利用三角形内角和定理可计算出∠ADE=80°,所以AD=AE,于是AB=AE+BE=AD+CD.
全等三角形的判定与性质.
本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”;全等三角形的对应边相等.也考查了等腰三角形的判定与性质.
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