题目

在平面直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程x=4+2cosθ,y=2sinθ,点M是曲线C1上的动点,线段OM中点是P,
(1)求线段OM中点P的轨迹直角坐标方程
(2)以坐标原点O为极点,x的正半轴建系,直线l的极坐标方程pcosθ-psinθ+1=0,p＞0,MN为l与x,y轴交点,求M,N的极坐标,及△PMN的面积最大值

提问时间：2020-12-04

答案

(1):设点M（2x1,2y1）,则P(x1,y1)
M点运动轨迹为c1：(x-4)^2+y^2=4.
则P点运动轨迹方程可(2x1-4)^2+(2y1)^2=4 得(x-2)^2+y^2=1；
(2):根据题意,M有2个极坐标(2,0)和(6,0),故而要分类讨论,但方法相同(可能要舍去一个,因为p>0),则令M(2m,0),
则P(m,0)
由θ=0得,p+1=2m,即p=2m-1
则由θ=±π分别得N的极坐标,但应当分别对应相应的m
则N的极坐标形式为：N(n,kπ),k=±1,
这时观察P,M,N三点和直线l的位置关系,可能有垂直关系出现,利用垂直求面积方程.最后借助方程求最大值（可以试试导数求最值的方法）.
当然,不要忘了结论.