题目

变限积分求导法!例题
求 d/dx∫下限为0,上限为x （x-t）f'(t)dt
原式=d/dx(x∫下限为0,上限为x)f'(t)dt-∫下限为0,上限为x ,tf'(t)dt)
=∫下限为0,上限为x f'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)
这步是算的,怎么加个又减个,那个怎么来的,原理是什么?
=∫下限为0,上限为x,f'(t)dt
=f(x)-f(0)
f'这个表示f撇,求导上有,学过的人应该知道!
详细的说下每步怎么算不了,依据什么?讲清楚!

提问时间：2020-12-04

答案

d/dx ∫(0→x) (x-t)f'(t) dt
= d/dx ∫(0→x) [xf'(t) - tf'(t)]
= d/dx {∫(0→x) xf'(t) dt - ∫(0→x) tf'(t) dt}
= d/dx x∫(0→x) f'(t) dt - d/dx ∫(0→x) tf'(t) dt
第一积分的值很好算,有：
∫(0→x) f'(t) dt = f(x) - f(0)
而假设第二个积分中,被积函数的原函数是g(t),即：
g'(t) = t f'(t)
则：
∫(0→x) tf'(t) dt = g(x) - g(0)
所以原式为：
d/dx [xf(x) - xf(0)] - d/dx [g(x)-g(0)]
对x微分,不含x的部分作常数处理,得：
xf'(x) + f(x) - f(0) - g'(x)
又由函数g的定义,得到：
= xf'(x) + f(x) - f(0) - x f'(x)
= f(x) - f(0)
其实你给的过程也就是大致按照这种方法,只不过它很早就做了微分,而且比较抽象,所以看起来晕罢了.我则是先整理了式子,然后才做的微分,你可以看到,我的做法跟答案一样,也是约掉了xf'(x)的,所以本质上是一样的.而也许我这样做你会比较好理解.
另外我引入到了函数g(t),但是不必怀疑它是否连续可导,因为有函数tf'(t)存在.至于规范过程的话,还是按照你的过程,写个很抽象的东西就好了,不必引入新东西,然后再去讨论他连续可导.
还不明白的话欢迎补充提问.