题目

椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0),过F1斜率为1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列
（1）求证：b=c
(2)设P（0,-1）在线段AB的垂直平分线上,求椭圆C的方程.

提问时间：2020-12-04

答案

（1）由等差数列可知道2AB=AF2+BF2 由定义知道 AB+AF2+BF2=4a
得到AB=4/3 a 由焦点弦长公式知道AB=2ab^2/(a^2-c^2(cos^2角）)=4/3 a
且角=45° （因为斜率为1） 且a^2-b^2=c^2 消去c可知道 a^2=2(b^2) 即 b^2=c^2 即 b=c
（2）P(0,-1) 直线为 y=-x-1 直线AB y=x+b 交于点D （(-1-b)/2,(-1+b)/2）
D到椭圆正上方（0,b）的距离为 2/3 a （焦点弦长公式结果的一半） 得方程
解得a^2=6+4根号2 b^2=3+2根号2 方程 x^2/6+4根号2 +y^2/ 3+2根号2 =1