题目
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c对一切x属于[-1,1]都有|f(x)|<=1,证明:对一切x属于[-1,1]都有|2ax+b|<=4
提问时间:2020-12-04
答案
.|f(1)|=|a+b+c|≤1
|f(-1)|=|a-b+c|≤1
由绝对值不等式,2|a+c|≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2,
|a+c|≤1
(2).4f(0)=|-4c|≤4
|f(1)|=|3a+3b+3c|≤3
|f(-1)|=|a-b+c|≤1
若ab≥0
2*|2ax+b|≤2*|2a+b|≤|4a+2b+4c-4c|≤3|f(1)|+|f(-1)|+4|f(0)|≤8
∴|2ax+b|≤4
若ab≤0
2*|2ax+b|≤2*|2a-b|≤|a+b+c+3a-3b+3c+4c-4c|≤|f(1)|+3|f(-1)|+4|f(0)|≤8
∴|2ax+b|≤4
综上,对于一切x∈[-1,1],都有|2ax+b|≤4,证毕.
参考:百度
|f(-1)|=|a-b+c|≤1
由绝对值不等式,2|a+c|≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2,
|a+c|≤1
(2).4f(0)=|-4c|≤4
|f(1)|=|3a+3b+3c|≤3
|f(-1)|=|a-b+c|≤1
若ab≥0
2*|2ax+b|≤2*|2a+b|≤|4a+2b+4c-4c|≤3|f(1)|+|f(-1)|+4|f(0)|≤8
∴|2ax+b|≤4
若ab≤0
2*|2ax+b|≤2*|2a-b|≤|a+b+c+3a-3b+3c+4c-4c|≤|f(1)|+3|f(-1)|+4|f(0)|≤8
∴|2ax+b|≤4
综上,对于一切x∈[-1,1],都有|2ax+b|≤4,证毕.
参考:百度
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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