题目

过实点M（1,2）且以y轴为准线的焦点F的轨迹是（ ）
A.圆（去掉一点）
B.椭圆（去掉一点）
C.抛物线（去掉一点）
D.双曲线（去掉一点)

提问时间：2020-12-04

答案

A、C、D
（一）有准线的曲线有可能是抛物线、椭圆和双曲线,先看抛物线：
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,
点F叫抛物线的焦点,
直线l叫做抛物线的准线.
设F点的坐标为（x1,y1)
根据抛物线的定义,
根下[（x-x1)^2+(y-y1)^2]=x1
（x-x1)^2+(y-y1)^2=x1^2
x^2-2x1x+y^2-2yy1+y1^=0
因为抛物线过点（1,2）
所以：1^2-2x1*1+2^2-2*2*y1+y1^2=0
5-2x1-4y1+y1^2=0
(y1-2)^2=2(x1-1/2)
从方程看,符合条件抛物线的焦点F的轨迹仍然为一抛物线,抛物线的对称轴为y=2,顶点坐标（1/2,2）,焦点坐标（3/2,2）,准线x=-1/2
(二）再看椭圆
椭圆第二定义定义：平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合
设焦点坐标为F(x1,y1),准线x=0,根据定义椭圆的方程为：
x^2/[-x1)^2+(y-y1)^2]k^2
过（1,2）点,所以：
1^2/k^2=(1-x1)^2+(2-y1)^2
即(x-1)^2+(y-2)^2=k^2
从方程看,符合条件椭圆的焦点F的轨迹为圆,圆心为（1,2）,半径为k.
（三）再看双曲线：
双曲线第二定义：平面内点M与一定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e(e>1),这个点M的轨迹是双曲线,定点是双曲线的焦点,它直线是双曲线的准线.
按照上述方法,可以得出焦点F的轨迹仍为双曲线.
综上所述,A、C、D正确,B错误