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题目
求经过A(0,-1)和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上的圆的方程.

提问时间:2020-12-04

答案
因为圆心在直线y=-2x上,设圆心坐标为(a,-2a)(1分)
设圆的方程为(x-a)2+(y+2a)2=r2(2分)
圆经过点A(0,-1)和直线x+y=1相切,
所以有
a2+(2a−1)2r2
|a−2a−1|
2
=r
(8分)
解得r=
2
,a=1或a=
1
9
(12分)
所以圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2或(x-
1
9
2+(y+
2
9
2=
50
81
.(14分)
根据圆心在直线y=-2x上,设出圆心坐标和半径,写出圆的标准方程,把点A的坐标代入圆的方程得到一个关系式,由点到直线的距离公式表示圆心到直线x+y=1的距离,让距离等于圆的半径列出另一个关系式,两者联立即可求出圆心坐标和半径,把圆心坐标和半径代入即可写出圆的标准方程.

圆的标准方程.

此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值,掌握直线与圆相切时满足的条件,会利用待定系数法求圆的标准方程,是一道中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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