题目

已知函数f（x）=x^2+2x+alnx,若a=-4,求函数f（x）的极值；当t>=1,不等式f（2t-1）>=2(f)-3恒成立,求实
已知函数f（x）=x^2+2x+alnx,若a=-4,
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当t>=1,不等式f（2t-1）>=2(f)-3恒成立,求实数a的取值范围

提问时间：2020-12-03

答案

1) f'(x)=2x+2+a/x=(2x^2+2x+a)/x =(2x^2+2x-4)/x=0 (x>0)
x^2+x-2=0
(x-1)(x+2)=0
所以
有唯一驻点x=1,左边导数小于0,右边导数大于0,即取极小值f(1)=3.
2) f(2t-1)>=2f(t)-3
2t^2-4t+2+aln(2t-1)=2lnt>=0
2(t-1)^2>+alm(2t-1)-2lnt>=0
设x=t-1,x>=0,上面不等式等价于
2x^2+aln(2x+1)-2aln(x+1)>=0
ln(2x+1)=0
ln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]=ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]>=-x^2/(x^2+2x+1)].
所以如果2x^2-ax^2/(x^2+2x+1)]>=0,即2(x+1)^2-a>=0,那么原不等式自然成立.2(x+1)^2-a>=0恒成立对x>=0,那么a2,因为当x--->0+时,极限x^2/ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=-1,因此对充分小的正数x,2x^2+aln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=ax^2*[2/a+ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]/x^2]