题目

设函数fx定义域是(0,正无穷)对任意正实数f(mn)=fm+fn,且当x>1时,fx>0,f2=1,（1）求f(1/2）
(2)求证f(x)在（0,正无穷）上是增函数
（3）求方程4sinx=fx的根的个数

提问时间：2020-12-03

答案

(1)f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1),从而 f(1)=0
又f(1)=f[2×(1/2)]=f(2)+f(1/2)=0
从而 f(1/2)=-f(2)=-1
(2)设 01 所以 f(x2/x1)>0
由于 f(x2)=f(x1·(x2/x1)]=f(x2)+f(x2/x1)
所以 f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0
即 f(x1)于是 f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)由于f(1)=0,f(16)=f(4)+f(4)=2f(4)=2[f(2)+f(2)]=4
4sinx的最大值为4,画草图知,有3个交点,
即方程有3个根.