题目

矩阵A*的意义

提问时间：2020-12-03

答案

伴随矩阵
A的伴随矩阵可按如下步骤定义：
1.把A的每个元素都换成它的代数余子式；
（代数余子式定义：在一个n级行列式D中,把元素第i行第j列元素aij (i,j=1,2,.n)所在的行与列划去后,剩下
的(n-1)^2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij的余子式,Mij带上符号(-1)^(i+j)称
为aij的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j) Mij.）
2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵,
补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除 A的行列式D中 元素aij对应的第j行第i列得到的新行列式D1
代替 aij,这样就不用转置了）
即：n阶方阵的伴随矩阵A*为
A12.An2
A13 .An3
..
A1n.Ann
例如：A是一个2x2矩阵,
a11,a12
a21,a22
则由A可得 Aij (I,j=1,2)为代数余子式
则A的伴随矩阵 A* 为
A11 A21
A12 A22
即
a22 ,-a12
-a21,a11
（余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式.特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）
注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵.
编辑本段性质：
原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射,例如
1 2 3
2 2 1 ------->
3 4 3
+2 6 -4
-3 -6 5
2 2 -2
其中1对应5 ；2 2 对应-3； 3对应2； 等等
求法:
① 当矩阵是大于等于二阶时：
主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式.
非主对角元素 是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号,序号从1开始的.
主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况,因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数,没必要考虑主对角元素的符号问题.
常用的可以记一下：
a b
—— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a)
②当矩阵的阶数等于一阶时,他的伴随矩阵为一阶单位方阵.
3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换,副对角线符号相反